Μπορεί να βρεθεί μαθηματικά η διαφορά μεταξύ τοπικού και απόλυτου / ολικού μέγιστου και ελάχιστου σημείου (χωρίς γραφική παράσταση);


Απάντηση 1:

Πηγαίνετε στα μαθηματικά θεωρήματα και τις αποδείξεις για να δουλέψετε τα πράγματα έτσι.

Εάν είστε σε θέση να αποδείξετε ότι η λειτουργία σας είναι κυρτή, τότε γνωρίζετε ότι έχει μόνο ένα τοπικό ελάχιστο και ως εκ τούτου ένα απόλυτο ελάχιστο. Το ίδιο επιχείρημα μπορεί να γίνει για τα μέγιστα εάν παίρνετε το αρνητικό της συνάρτησης.

Εάν είστε σε θέση να αποδείξετε ότι η λειτουργία σας είναι η δεύτερη διαφοροποιήσιμη και το δεύτερο παράγωγο είναι μη αρνητικό σχεδόν παντού τότε μόλις αποδείξατε ότι είναι κυρτό και στη συνέχεια μπορείτε να το χρησιμοποιήσετε.

Αν η συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής είναι ένα πολυώνυμο μιας περίεργης παραγγελίας από ό, τι γνωρίζετε, δεν έχει κανένα απόλυτο ακρότατο. Εάν είναι απόλυτη τάξη, τότε κοιτάζετε το σημάδι του κύριου όρου και είτε δεν έχετε απόλυτα μέγιστα, ούτε απόλυτα ελάχιστα.

Εάν μπορείτε να σπάσετε τη λειτουργία σας σε μια δέσμη κομμάτια όπου κάθε ένα από αυτά τα κομμάτια έχουν τα παραπάνω ιδιότητες, τότε μπορείτε να φιλτράρετε τους πιθανούς υποψηφίους για να είστε ακραίοι σφαιρικοί.

Επιτέλους, όταν έχετε μια πεπερασμένη λίστα με σημεία, μπορείτε πάντα να τα ελέγξετε όλα.

Όπου τα πράγματα γίνονται δύσκολα είναι όταν εργάζεστε με τις λειτουργίες (ή τα αρνητικά τους) που είναι μη κυρτές και μη διαφοροποιήσιμες. Σε αυτό το σημείο, όσο λιγότερο γνωρίζετε για τη λειτουργία τόσο λιγότερο είστε σε θέση να αποδείξετε ότι ένα ακραίο σημείο είναι ένα παγκόσμιο ακραίο σημείο.

Η θεωρία βελτιστοποίησης είναι μια πολύ μεγάλη περιοχή της τρέχουσας μαθηματικής έρευνας.