Ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων: ποια είναι η διαφορά μεταξύ στοιχείων πρώτης τάξης και δεύτερης τάξης;


Απάντηση 1:

Η Wasfi Zakaria παρείχε μια εξαιρετική περιγραφή της προσέγγισης που διαφοροποιεί τα στοιχεία της πρώτης τάξης από τη δεύτερη σειρά.

Υπάρχει μια λεπτή πολυπλοκότητα που εισάγεται στα στοιχεία καθώς γίνονται υψηλότερη τάξη.

Ας δούμε ένα τρίγωνο στον πραγματικό χώρο.

Η λειτουργία κανονικού σχήματος σε πραγματικές συντεταγμένες για ένα στοιχείο γραμμικού τριγώνου είναι:

P = a + bx + cy (3 παράμετροι και 3 κόμβοι)

και

dP / dx = b ή η τάση στην κατεύθυνση x μπορεί να κυμαίνεται γραμμικά στο y.

dP / dy = c ή η τάση στην κατεύθυνση y μπορεί να κυμαίνεται γραμμικά σε x.

Η λειτουργία κανονικού σχήματος σε πραγματικές συντεταγμένες για ένα διγραμμικό τρίγωνο (δεύτερης τάξης) είναι:

P = a + bx + cy + dx ^ 2 + ey ^ 2 + fxy (6 παράμετροι και 6 κόμβοι)

και

dP / dx = b + dx + fv

dP / dy = c + ey + fx

Και πάλι έχουμε συμμετρικές συμπεριφορές στέλεχος.

Τώρα μπορείτε να δείτε το γραμμικό τετράγωνο στοιχείο:

P = a + bx + cy + dxy (τέσσερις παράμετροι, τέσσερις κόμβοι)

και

dP / dx = b + dy

dP / dy = c + dx

Σημειώστε ότι υπάρχει ασυμμετρία στα πεδία d / dx και d / dy.

Τώρα μπορείτε να δείτε το στοιχείο biquadratic serendipity (οκτώ κόμβοι):

P = a + bx + cy + dx ^ 2 + ey ^ 2 + fxy + gxy ^ 2 + hx ^ 2y (οκτώ παραμέτρους, οκτώ κόμβοι)

και τα πεδία παραμόρφωσης μπορούν να προσδιοριστούν με

dP / dx = b + 2dx + fy + gy ^ 2 + 2hxy

dP / dy = c + 2ey + fx + 2gxy + hx ^ 2

και πάλι τα πεδία παραμόρφωσης δεν είναι συμμετρικά.

Έτσι, τα στοιχεία τριγώνου (και τα τετραεδρικά στοιχεία i 3D) έχουν συμμετρικά πεδία καταπόνησης (και συνεπώς στρες), ενώ τα στοιχεία τετραγώνου δεν έχουν.

Γιατί έχει σημασία?

Ας δούμε ένα καθαρά σταθερό πεδίο μετατόπισης (σταθερό τέντωμα). Όλο το στοιχείο θα παρουσιάσει μόνο τον όρο σταθερής καταπόνησης και όλα θα συμπεριφέρονται εξίσου καλά.

Ας εξετάσουμε τη γραμμική καταπόνηση κατά μήκος του τμήματος (όπως στην καθαρή κάμψη). το γραμμικό τρίγωνο είναι μια σταθερή τάση και έτσι ταιριάζει με την πραγματική τάση ως σύνολο βαθμίδων και συγκλίνει πολύ αργά. Για ορισμένα προβλήματα (πλαστικότητα) τα στοιχεία αυτά κλειδώνουν και δηλώνουν σωστά, η συμπεριφορά σύγκλισης είναι περίεργη. τα στοιχεία billinear, ωστόσο, μπορούν να αντιπροσωπεύουν ρητά γραμμικά μεταβαλλόμενο πεδίο καταπόνησης είτε στο x είτε στο y και τα στοιχεία συγκλίνουν άμεσα για ένα στοιχείο.

Τώρα μπορείτε να δείτε τα πεδία μετατόπισης υψηλότερης τάξης, για παράδειγμα ένα κυβικό πεδίο μετατόπισης που αποδίδει τετραγωνικά πεδία τάσης (κάμψη κάτω από το τελικό φορτίο). Το διηλεκτρικό τρίγωνο θα χωρέσει στο πεδίο μετατόπισης με ένα σύνολο τετραγωνικών πεδίων και η σύγκλιση είναι σχετικά γρήγορη. Όπως και σοφό, η παραμόρφωση του πεδίου παραμόρφωσης μπορεί να παρασταθεί συμμετρικά σε όλο το στοιχείο και το πεδίο παραμόρφωσης συμπεριφέρεται καλά. Ας δούμε τα τετράγωνα στοιχεία. Θα ταξινομήσουν το πεδίο μετατόπισης ως σύνολο τετραγωνικών πεδίων μετατόπισης και θα συγκλίνουν αρκετά γρήγορα. Ωστόσο, υπάρχουν τώρα συστατικά στελέχους δεύτερης τάξης και αυτά μπορούν να διεγείρουν τους όρους δεύτερης τάξης στο παράγωγο των λειτουργιών σχήματος. Και καθώς το πεδίο μετατόπισης γίνεται πιο έντονο και πιο περίπλοκο, αυτά τα πεδία τάσης υψηλότερης τάξης γίνονται όλο και πιο ενθουσιασμένα. Το αποτέλεσμα μπορεί να είναι οι ταλαντώσεις των στελεχών (και συνεπώς οι πιέσεις), βλ. Παρακάτω.

παρμένο από:

Δομική ανάλυση με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Γραμμική στατική

Αυτό συζητείται περισσότερο στο:

Ελαχιστοποίηση τάσεων ελαχίστων τετραγώνων για το στοιχείο στρες οριζόντιου επιπέδου οκτώ κόμβων

και

Διαδικασίες πεπερασμένων στοιχείων

και

Δομική ανάλυση με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Γραμμική στατική

Λιγότερο τετράγωνα εξομάλυνση πάνω από το στοιχείο (η ευθεία γραμμή σε αυτή την περίπτωση) είναι μια πολύ αποτελεσματική λύση σε αυτή την πρόκληση.

Επίπτωση:

1) τετράγωνα / ορθογώνια συγκλίνουν ταχύτερα από τα τρίγωνα / τετράεδρα

2) τα bilinear στοιχεία συγκλίνουν πολύ ταχύτερα από τα γραμμικά στοιχεία

3) τετραγωνικά (ή λαγγραγγικά ή ...) τετράγωνα / ορθογώνια είναι ευαίσθητα σε παρασιτικές ταλαντώσεις στρες

4) η ελάχιστη τετραγωνική προσαρμογή των πεδίων παραμόρφωσης / τάσης πάνω στο στοιχείο είναι πολύ αποτελεσματική στη μείωση αυτής της ταλάντωσης


Απάντηση 2:

Μετά την διακριτοποίηση σε FEA, όλα τα στοιχεία έχουν εκχωρηθεί μια συνάρτηση (ένα πολυώνυμο) που θα χρησιμοποιηθεί για να αντιπροσωπεύει τη συμπεριφορά του στοιχείου. Οι πολυώνυμες εξισώσεις προτιμώνται γι 'αυτό καθώς μπορούν εύκολα να διαφοροποιηθούν και να ενσωματωθούν. Η σειρά ενός στοιχείου είναι ίδια με τη σειρά της πολυωνυμικής εξίσωσης που χρησιμοποιείται για να αντιπροσωπεύει το στοιχείο.

Ένα γραμμικό στοιχείο ή στοιχείο πρώτης τάξης θα έχει κόμβους μόνο στις γωνίες. Αυτό είναι κάτι σαν την κυβική δομή με κεντρική άκρη.

Ωστόσο, ένα στοιχείο δεύτερης τάξης ή τετραγωνικό στοιχείο θα έχει τους μεσαίους πλευρικούς κόμβους εκτός από τους κόμβους στη γωνία (άκρο + σώμα + κυβική δομή με κέντρο το πρόσωπο).

Ένα γραμμικό στοιχείο στο παραπάνω διάγραμμα έχει σαφώς δύο κόμβους ανά άκρο και ως εκ τούτου χρειάζεται μόνο μία Γραμμική εξίσωση να εκχωρηθεί για να αντιπροσωπεύει τη συμπεριφορά του στοιχείου.

Ωστόσο, ένα τετραγωνικό στοιχείο χρειάζεται μια τετραγωνική εξίσωση για να περιγράψει τη συμπεριφορά του καθώς έχει τρεις κόμβους.

Για στοιχεία στα οποία θέλετε να καταγράψετε την καμπυλότητα, προτιμούνται πολυώνυμα υψηλότερης τάξης. Τα στοιχεία της πρώτης τάξης δεν μπορούν να καταγράψουν την καμπυλότητα.

Η σειρά του στοιχείου δεν έχει καμία σχέση με τη γεωμετρία. Στο διάγραμμα που ακολουθεί, για το ίδιο τρίγωνο, μπορεί να γίνει πρώτη και δεύτερη διακριτοποίηση, αλλά η δεύτερη τάξη έχει καλές πιθανότητες να καταγράψει την καμπυλότητα.

Για την ακριβή σύλληψη πολύπλοκων καμπυλών, χρειάζονται πολυώνυμα πολύ υψηλής τάξης, αλλά έρχονται με το κόστος του αυξημένου υπολογιστικού χρόνου. Ως εκ τούτου, είναι καλύτερο να έχουμε ένα εμπόριο μεταξύ του βαθμού της ακρίβειας και τον υπολογιστικό χρόνο.

Τώρα, αφήνει να μιλήσει για τον αριθμό των κόμβων μεταξύ των στοιχείων πρώτης και δεύτερης τάξης. Ο αριθμός των κόμβων έφτασε από το τρίγωνο του Pascal.

Τα παρακάτω είναι για τρίγωνα. Για μια 0η σειρά, ο αριθμός των όρων είναι 1 ο οποίος είναι ο αριθμός των κόμβων πρέπει να είναι 1.

Για ένα γραμμικό (πολυώνυμο πρώτης τάξης), ο αριθμός των όρων είναι 3 ο οποίος είναι ο αριθμός των κόμβων πρέπει να είναι 3.

Για ένα τετραγωνικό (πολυώνυμο δεύτερης τάξης), ο αριθμός των όρων είναι 6 ο οποίος είναι αριθμός κόμβων = 6.

Τώρα στην περίπτωση των τετραγώνων, πρέπει να εξετάσουμε το τετράγωνο ως προσθήκη δύο τριγώνων. Τα αποτελέσματα για την 0η σειρά, Linear και Quadratic έχουν ως εξής:


Απάντηση 3:

Τα στοιχεία της πρώτης τάξης γενικά αποτελούνται από τον συνδυασμό γραμμών (ουσιαστικά η κατασκευή του FOE διέπεται από γραμμικές εξισώσεις εξισώσεων ή διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης), δηλαδή το τρίγωνο, το στοιχείο tat. Είναι καλύτερα στην ακρίβεια ενώ ασχολούνται με τα γεωμετρικά προκατειλημμένα σχήματα όπως το τέλειο τετράγωνο, ορθογώνιο κλπ. Έχουν μικρότερους κόμβους στην επιθυμητή περιοχή.

Τα στοιχεία της δεύτερης τάξης αποτελούνται από καμπύλες και γραμμές καμπυλότητας (ουσιαστικά η κατασκευή του SOE διέπεται από δευτερεύουσες εξισώσεις εξισώσεων) έχουν τις τάσεις να επιδεικνύουν μεγαλύτερη ακρίβεια σε γεωμετρικά προκατειλημμένες καθώς και πολύ περίπλοκα ή περίπλοκα γεωμετρικά στοιχεία κατά την εκτέλεση FEA


Απάντηση 4:

είναι η πολυωνυμική συνάρτηση που περιγράφει το στοιχείο, στην πραγματικότητα, τα στοιχεία της πρώτης τάξης έχουν μια συνάρτηση όπως: P (x) = a * x + b

και για τα στοιχεία της δεύτερης τάξης, η συνάρτηση είναι κάτι σαν: P (x) = a * x ^ 2 + b * x + c

στην παραπάνω εικόνα, η πρώτη σειρά στοιχείων είναι 1ης τάξης ενώ τα στοιχεία 2ης τάξης βρίσκονται στη 2η γραμμή.

PS: μπορείτε να δείτε την παραβολική μορφή των στοιχείων της 2ης τάξης, αυτό είναι που τα στοιχεία της πρώτης τάξης δεν μπορούν να σας δώσουν.