Για μια ορθολογική λειτουργία, ποια είναι η διαφορά μεταξύ μιας τρύπας και ενός κάθετου ασυμπτωτικού;


Απάντηση 1:

Αναφερόμενος σε έναν από τους δασκάλους μαθηματικών μου στο γυμνάσιο:

"Δεν θα χωρίσετε από το μηδέν."

Μερικές φορές, είναι ένας μη μηδενικός αριθμός που διαιρείται με μηδέν:

40\frac{4}{0}

Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένας αριθμός που πολλαπλασιάζεται με

00

θα οδηγήσει σε

44

. (Ανοησίες!)

Μερικές φορές, είναι μηδέν που διαιρείται με το μηδέν:

00\frac{0}{0}

Χμμμ. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένας (μοναδικός) αριθμός που διαιρείται με

00

θα οδηγήσει σε

00

. Αρχικά, ένας μαθητής μπορεί να σκεφτεί ότι ο αριθμός είναι

00

, Από

0×0=00\times0=0

. Αλλά ένας άλλος φοιτητής, θυμίζοντας ότι οποιοσδήποτε αριθμός διαιρούμενο από τον εαυτό του θα ισούται με 1, έτσι ισχυρίζονται ότι η αξία του κλάσματος είναι 1 από τότε

1×0=01\times0=0

.Anotherstudentfeelsthenumberis283since283×0=0.Sincethereareaninfinitenumberofanswers,to[math]00[/math],thereisreallyNOdefinitionfor[math]00[/math].. Another student feels the number is 283 since 283\times0=0. Since there are an infinite number of answers, to [math]\frac{0}{0}[/math], there is really NO definition for [math]\frac{0}{0}[/math].

Τώρα θεωρήστε μια λογική λειτουργία με τους αριθμητές και τους παρανομαστές της.

(x+2)(x+4)(x2)(x3)(x2)(x+4)(x9)(x+8)\frac{(x+2)(x+4)(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+4)(x-9)(x+8)}

Στην ορθολογική λειτουργία μας παραπάνω, οι περιορισμοί στον τομέα είναι

xx ≠

{-8, -4, 2, 9}.

Τόσο οι κάθετοι ασυμπτωτικοί όσο και οι τρύπες στο γράφημα παρουσιάζονται στους περιορισμούς του τομέα. Αυτοί οι περιορισμοί προκαλούνται όταν μια τιμή

xx

θα ήταν μια προσπάθεια διαίρεσης

00

.

Θα αποδειχθεί ότι δύο από αυτούς τους περιορισμούς αντιπροσωπεύουν το

xx

- Συντεταγμένες μιας τρύπας στο γράφημα, οι άλλες δύο θα είναι κάθετες ασυμπτωτικές.

Μου αρέσει να ξεκινώ βρίσκοντας τις έξυπνες μορφές του 1 και το χωρίζοντάς τους από τους παράγοντες που δεν ταιριάζουν:

x2x2x+4x+4(x+2)(x3)(x9)(x+8)\frac{x-2}{x-2}·\frac{x+4}{x+4}·\frac{(x+2)(x-3)}{(x-9)(x+8)}

Οι έξυπνες μορφές του 1 είναι πάντοτε ίσες με 1, εκτός αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι 0. Ο

xx

Οι συντεταγμένες των οπών είναι 2 και -4.

Οι κάθετες ασυμπτωτικές εμφανίζονται σε όλες τις άλλες περιορισμένες τιμές του x που δεν είναι χ-συντεταγμένες των οπών. Στο παράδειγμά μου, αυτά είναι

x=9x=9

και

x=8x=-8

.


Απάντηση 2:

Το γράφημα μιας ορθολογικής λειτουργίας είναι συνεχής όπου ορίζεται. Μια τρύπα είναι το σημείο όπου η λειτουργία είναι απροσδιόριστη.

y=x24x2y=\frac{x^2-4}{x-2}

έχει μια τρύπα στο

x=2x=2

.

Αν παραμερίζουμε

x2x-2

από την κορυφή και το κάτω μέρος, παίρνουμε

y=x+2y=x+2

.

Το γράφημα είναι η ευθεία

y=x+2y=x+2

αλλά το σημείο

(2,4)(2,4)

λείπει από το γράφημα (δεδομένου ότι δεν καθορίστηκε ποτέ για το

x=2x=2

).

Ένα κάθετο ασυμπτωτικό συμβαίνει όταν ο παρονομαστής τείνει στο μηδέν.

π.χ., για

y=1xy=\frac{1}{x}

,

yy

είναι απροσδιόριστο σε

x=0x=0

. Αλλά, αν κοιτάξετε το γράφημα,

yy

τείνει να

++\infty

fromtherightsideof0,andtendsto[math][/math]fromtheleft: from the right side of 0, and tends to [math]-\infty[/math] from the left :

Εδώ,

x=0x=0

(Άξονας Υ) καλείται ο κάθετος ασυμπτώτης.

Γενικά,

1xa\frac{1}{x-a}

έχει το κάθετο ασυμπτωτικό

x=ax=a

.

Ένα κάθετο ασυμπότο είναι η κατακόρυφη γραμμή που τραβιέται στο σημείο γύρω από το οποίο τείνει η λειτουργία

±\pm \infty

,

Μια τρύπα είναι ένα σημείο όπου το γράφημα «σπάει».


Απάντηση 3:

Το γράφημα μιας ορθολογικής λειτουργίας είναι συνεχής όπου ορίζεται. Μια τρύπα είναι το σημείο όπου η λειτουργία είναι απροσδιόριστη.

y=x24x2y=\frac{x^2-4}{x-2}

έχει μια τρύπα στο

x=2x=2

.

Αν παραμερίζουμε

x2x-2

από την κορυφή και το κάτω μέρος, παίρνουμε

y=x+2y=x+2

.

Το γράφημα είναι η ευθεία

y=x+2y=x+2

αλλά το σημείο

(2,4)(2,4)

λείπει από το γράφημα (δεδομένου ότι δεν καθορίστηκε ποτέ για το

x=2x=2

).

Ένα κάθετο ασυμπτωτικό συμβαίνει όταν ο παρονομαστής τείνει στο μηδέν.

π.χ., για

y=1xy=\frac{1}{x}

,

yy

είναι απροσδιόριστο σε

x=0x=0

. Αλλά, αν κοιτάξετε το γράφημα,

yy

τείνει να

++\infty

fromtherightsideof0,andtendsto[math][/math]fromtheleft: from the right side of 0, and tends to [math]-\infty[/math] from the left :

Εδώ,

x=0x=0

(Άξονας Υ) καλείται ο κάθετος ασυμπτώτης.

Γενικά,

1xa\frac{1}{x-a}

έχει το κάθετο ασυμπτωτικό

x=ax=a

.

Ένα κάθετο ασυμπότο είναι η κατακόρυφη γραμμή που τραβιέται στο σημείο γύρω από το οποίο τείνει η λειτουργία

±\pm \infty

,

Μια τρύπα είναι ένα σημείο όπου το γράφημα «σπάει».


Απάντηση 4:

Το γράφημα μιας ορθολογικής λειτουργίας είναι συνεχής όπου ορίζεται. Μια τρύπα είναι το σημείο όπου η λειτουργία είναι απροσδιόριστη.

y=x24x2y=\frac{x^2-4}{x-2}

έχει μια τρύπα στο

x=2x=2

.

Αν παραμερίζουμε

x2x-2

από την κορυφή και το κάτω μέρος, παίρνουμε

y=x+2y=x+2

.

Το γράφημα είναι η ευθεία

y=x+2y=x+2

αλλά το σημείο

(2,4)(2,4)

λείπει από το γράφημα (δεδομένου ότι δεν καθορίστηκε ποτέ για το

x=2x=2

).

Ένα κάθετο ασυμπτωτικό συμβαίνει όταν ο παρονομαστής τείνει στο μηδέν.

π.χ., για

y=1xy=\frac{1}{x}

,

yy

είναι απροσδιόριστο σε

x=0x=0

. Αλλά, αν κοιτάξετε το γράφημα,

yy

τείνει να

++\infty

fromtherightsideof0,andtendsto[math][/math]fromtheleft: from the right side of 0, and tends to [math]-\infty[/math] from the left :

Εδώ,

x=0x=0

(Άξονας Υ) καλείται ο κάθετος ασυμπτώτης.

Γενικά,

1xa\frac{1}{x-a}

έχει το κάθετο ασυμπτωτικό

x=ax=a

.

Ένα κάθετο ασυμπότο είναι η κατακόρυφη γραμμή που τραβιέται στο σημείο γύρω από το οποίο τείνει η λειτουργία

±\pm \infty

,

Μια τρύπα είναι ένα σημείο όπου το γράφημα «σπάει».