Τι προκαλεί τη διαφορά μεταξύ αριθμητικών μέσων και γεωμετρικών μέσων;


Απάντηση 1:

x1,x2,...,xnx_1, x_2, ..., x_n

ai=logxi,xi=expaia_i = \log x_i, x_i = \exp a_i

{x1,...,xn}\lbrace x_1, ..., x_n \rbrace

a1+a2+...+an=0a_1 + a_2 + ... + a_n = 0

(x1+...+xn)/n(x_1 + ... + x_n)/n

{ai}\lbrace a_i \rbrace

expa=1+a+a22+a36+...\exp a = 1 + a + \frac{a^2}{2} + \frac{a^3}{6} + ...

AM= (x1+...+xn)/nAM =  (x_1 + ... + x_n)/n

=(expa1+...+expan)/n= (\exp a_1 + ... + \exp a_n)/n

=1+(a1+...+an)/n = 1 + (a_1 + ... + a_n)/n

+(a12+...+an2)/(2n)+(a13+...an3)/(6n)+...+ (a_1^2 + ... + a_n^2)/(2n) + (a_1^3 + ... a_n^3)/(6n) + ...

=GM+k=2a1k+a2k+...+ankk!n = GM + \sum_{k=2}^{\infty} \frac{a_1^k + a_2^k + ... + a_n^k}{k! n}

(a1k+...+ank)/n(a_1^k + ... + a_n^k)/n

oment

{a1,...,an}\lbrace a_1, ..., a_n \rbrace

{10,11,12,13,14}\lbrace 10, 11, 12, 13, 14 \rbrace

2402405=11.9159607.\sqrt[5]{240240} = 11.9159607.

{0.83921,0.92313,1.00705,1.09097,1.17489}.\lbrace 0.83921, 0.92313, 1.00705, 1.09097, 1.17489 \rbrace.

{0.17529,\lbrace -0.17529,

0.07998,0.00703,0.08707,0.16118}.-0.07998, 0.00703, 0.08707, 0.16118 \rbrace.

m2=0.01415,m3=0.00021, m_2 = 0.01415, m_3 = -0.00021,

m4=0.00034,m5=0.00001,...m_4 = 0.00034, m_5 = -0.00001, ...

0.00705266=m22+m36+m424+... 0.00705266 = \frac{m_2}{2} + \frac{m_3}{6} + \frac{m_4}{24} + ...

=0.00707340.0000350+0.0000143... = 0.0070734 - 0.0000350 + 0.0000143 - ...

m2,m_2,

AM/GM1AM/GM - 1

AMGM=GM(m22+m36+m424+...).AM - GM = GM( \frac{m_2}{2} + \frac{m_3}{6} + \frac{m_4}{24} + ...).


Απάντηση 2:

11

Γεωμετρικό μέσο

:

g: (R+)nR+(nN)g:  (\mathbb{R}^+)^n\rightarrow \mathbb{R}^+ (n\in\mathbb{N})

g(x1,...,xn)=(i=1nxi)1ng(x_1,...,x_n)=(\prod_{i=1}^n{x_i})^{\frac{1}{n}}

Αριθμητικός μέσος όρος

:

a:(R+)nR+ (nN)a: (\mathbb{R}^+)^n\rightarrow \mathbb{R}^+  (n\in\mathbb{N})

a(x1,...,xn)=1ni=1nxia(x_1,...,x_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i}

Τι προκαλεί τη διαφορά μεταξύ του γεωμετρικού μέσου όρου και του αριθμητικού μέσου όρου;

xix_i

XilnN(μ,σ2)X_i\sim \ln N(\mu,\sigma^2)

E[a(x1,...,xn)]=exp(μ+12σ2)E[a(x_1,...,x_n)]=\exp{(\mu+\frac{1}{2}\sigma^2)}

E[g(x1,...,xn)]=exp(μ)E[g(x_1,...,x_n)]=\exp{(\mu)}

E[a(x1,...,xn)g(x1,...,xn)]E[a(x_1,...,x_n)-g(x_1,...,x_n)]

=exp(μ)[exp(σ22)1]=\exp{(\mu)}[\exp{(\frac{\sigma^2}{2}})-1]

nn\rightarrow \infty

xix_i

XiN(μ,σ2)X_i\sim N(\mu, \sigma^2)

μ>0\mu>0

σ\sigma

μ\mu

kR+\exists k\in\mathbb{R}^+

E[a(x1,...,xn)g(x1,...,xn)]=kσ2E[a(x_1,...,x_n)-g(x_1,...,x_n)]=k\sigma^2

τα αριθμητικά και γεωμετρικά μέσα είναι ισοδύναμα αν

x1=x2=...=xnx_1=x_2=...=x_n

ο γεωμετρικός μέσος όρος μειώνεται από τον αριθμητικό μέσο καθώς τα σημεία διαχωρίζονται περισσότερο

Μέση διατήρηση της εξάπλωσης

S=(x1,...,xn)S=(x_1,...,x_n)

aa

gg

SS'

xix_i

xj>a(S)x_j>a(S)

SS

ximx_i-m

xj+mx_j+m

a(S)=a(S)a(S')=a(S)

g(S)=[g(S)n(xim)(xj+m)xixj]1ng(S')=[\frac{g(S)^n(x_i-m)(x_j+m)}{x_ix_j}]^{\frac{1}{n}}

=g(S)[1+m(xixjm)xixj]1n=g(S)[1+\frac{m(x_i-x_j-m)}{x_ix_j}]^{\frac{1}{n}}

m(xixjm)xixj0\frac{m(x_i-x_j-m)}{x_ix_j}\geq 0

m[xi(xj+m)]0\Rightarrow m[x_i-(x_j+m)]\geq 0

xj+m>xim[xi(xj+m)]<0x_j+m>x_i\Rightarrow m[x_i-(x_j+m)]<0

συνάρτηση για τον γεωμετρικό μέσο σε όρους αριθμητικού μέσου

lng(x1,...,xn)=ln[(i=1nxi)1n]\ln{g(x_1,...,x_n)}=\ln{[(\prod_{i=1}^{n}{x_i})^{\frac{1}{n}}]}

=1ni=1nlnxi=a(lnx1,...,lnxn)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{\ln{x_i}}=a(\ln{x_1},...,\ln{x_n})

g(x1,...,xn)=exp[a(lnx1,...,lnxn)]g(x_1,...,x_n)=\exp{[a(\ln{x_1},...,\ln{x_n})]}

xiR+x_i\in\mathbb{R}^+

lnx\ln{x}

x 0x\leq  0

τα αριθμητικά μέσα τείνουν να έχουν μεγαλύτερο μέγεθος από τα γεωμετρικά μέσα

Ανισότητα αριθμητικών και γεωμετρικών μέσων

a(x1,...,xn) g(x1,...,xn)a(x_1,...,x_n) \geq  g(x_1,...,x_n)

lng(x1,...,xn)=1ni=1nlnxi\ln{g(x_1,...,x_n)}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{\ln{x_i}}

ln(1ni=1nxi)=lna(x1,...,xn)\leq \ln{(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_i})}=\ln{a(x_1,...,x_n)}

 g(x1,...,xn)a(x1,...,xn)\Rightarrow  g(x_1,...,x_n) \leq a(x_1,...,x_n)

Γενικευμένος μέσος όρος