Απάντηση 1:

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ του παραγώγου, του μερικού παράγωγου και του Jacobian;

Το παράγωγο μιας συνάρτησης είναι η συνάρτηση που μας δίνει τον στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής της εξαρτημένης μεταβλητής σε σχέση με την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Όταν μια συνάρτηση έχει περισσότερες από μία ανεξάρτητες μεταβλητές, έχουμε διαφορετικές λειτουργίες που μας δίνουν τον στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής της εξαρτημένης μεταβλητής σε σχέση με κάθε μια από τις ανεξάρτητες μεταβλητές, κρατώντας τις άλλες ανεξάρτητες μεταβλητές σταθερές. Αυτές οι λειτουργίες ονομάζονται μερικά παράγωγα.

Ifwehaveasystemofnequations(i.e.[math]n[/math]dependentvariables[math]y1,y2,yn[/math])in[math]n[/math]independentvariables,[math]x1,x2,,xn,[/math]wecanformamatrixinwhich[math]ith[/math]rowconsistsofthepartialderivativesofthe[math]ith[/math]equationwithrespecttoeachoftheindependentvariablesandthe[math]jth[/math]columnconsistsofthepartialderivativesofeachoftheequationswithrespecttothe[math]jth[/math]independentvariable.If we have a system of n equations (i.e. [math]n[/math] dependent variables [math]y_1,y_2,\cdots y_n[/math]) in [math]n[/math] independent variables, [math]x_1,x_2,\cdots, x_n,[/math] we can form a matrix in which [math]i^{th}[/math] row consists of the partial derivatives of the [math]i^{th}[/math] equation with respect to each of the independent variables and the [math]j^{th}[/math] column consists of the partial derivatives of each of the equations with respect to the [math]j^{th}[/math] independent variable.

Theithrowwouldbe[math]yix1,yix2,,yixn.[/math]The i^{th} row would be [math]\frac{\partial y_i}{\partial x_1},\frac{\partial y_i}{\partial x_2},\cdots, \frac{\partial y_i}{\partial x_n}.[/math]

Thejthcolumnwouldbe[math]y1xj,y2xj,,ynxj.[/math]The j^{th} column would be [math]\frac{\partial y_1}{\partial x_j},\frac{\partial y_2}{\partial x_j},\cdots, \frac{\partial y_n}{\partial x_j}.[/math]

Αυτός ο πίνακας ονομάζεται μήτρα Jacobian ή Jacobian. Συχνά, ο καθοριστικός παράγοντας της μήτρας Jacobian ονομάζεται επίσης Jacobian.